多面体欧拉定理证明_多面体欧拉定理的证明

多面体欧拉定理证明_多面体欧拉定理的证明 _多面体欧拉定理的证明

       大家好，今天我来为大家揭开“多面体欧拉定理证明”的神秘面纱。为了让大家更好地理解这个问题，我将相关资料进行了整合，现在就让我们一起来探索吧。

1.欧拉公式

2.多面体欧拉定理的发现 ?

3.叙述多面体的欧拉定理 什么是正多面体

4.欧拉公式多面体是什么?

5.急!!!如何用球面三角形面积公式证明欧拉公式?

欧拉公式

       因为已知的这个多面体的各个面都是五边形，

       而任何一个多面体的每条棱都是两个面的交线,

       所以这个多边形的面数*5/2就是棱数,

       即5F/2=E,

       而欧拉公式是指:顶点数+面数-棱数=2,

       即V+F-E=2,

       所以V+F-(5F/2)=2,

       两边同乘以2,得

       2V+2F-5F=4,

       所以2V-3F=4,

       即2V=3F+4.

多面体欧拉定理的发现 ?

       一个多面体的各个面都是五边形，这个多面体E=F+

3

2

F=

5

2

F，

       ∵V+F-E=2，

       ∴V+F-

5

2

F=2，

       ∴2V=3F+4．

叙述多面体的欧拉定理 什么是正多面体

       你叼..

       劝你自学点高中数学符号再说吧...

       这里有一个证明.

       逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E

       先以简单的四面体ABCD为例分析证法。

       去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数E、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1

       (1)去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。

       (2)从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。

       以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E

       =2。

       对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。

       没有符号,怕你也看不懂...嘿嘿..

欧拉公式多面体是什么?

       多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系，及欧拉公式:V-E+F=2，所谓简单多面体，即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。

       正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。正多面体只有正四面体、正六面体(正方体)、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。

       由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。

急!!!如何用球面三角形面积公式证明欧拉公式?

       如下：

       若用F表示一个正多面体的面数，E表示棱数，V表示顶点数，则有F＋V－E=2，即“表面数+顶点数-棱长数=2”。F＋V－E=2，这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

       V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X(P)是多面体P的欧拉示性数。 如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。?

       X(P)叫作P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。?

       欧拉示性数

       在欧拉公式中，令 f(p)=V+F-E，f(p)叫作欧拉示性数。定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f (p)=2。

       除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面，它的欧拉示性数为f (p)=16+16-32=0，所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。

       假设在任意凸多面体中放置一个点光源，以这个点光源为中心作一个单位球，凸多面体的顶点、棱、面都会在球上形成投影。那么只要证明在球面上形成的点、线、面满足欧拉公式即可。

       然后将球面上的所有面剖分成三角形，剖分一个面时，任意两条剖分线不要在这个面的内部形成交叉，这样剖分为三角形后，球面投影的面数和线数会增加，由于每1条线将1个面分成2个面，因而增加1条线也就增加了1个面，线和面增加的数目相同。

       假设原来的顶点、棱、面的个数分别为V、E、F，那么进行三角剖分后，V不变，E和F增加的数目相同，因而F-E+V的值保持不变。下面只证全部为球面三角形时F-E+V=2。

       所有面全部为三角形时，由于每个面有3条边，而每条边又为2个面所共有，因而2E=3F，则F-E=-F/2，下面再证明V-F/2=2即可。

       每一个顶点的一个周角2∏被若干个球面三角形的角围成，因而所有三角形的内角总和为2∏V，一个球面三角形的面积为A+B+C-∏，则所有三角形的面积为：所有三角形内角总和-∏F，而所有三角形面积之和为球面面积4∏，即得2∏V-∏F=4∏，等式两边除以2∏得：V-F/2=2，问题得证。

       非常高兴能与大家分享这些有关“多面体欧拉定理证明”的信息。在今天的讨论中，我希望能帮助大家更全面地了解这个主题。感谢大家的参与和聆听，希望这些信息能对大家有所帮助。